基本概念

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计算机图形学是什么？

计算机图形学(Computer Graphics)是研究如何在计算机中表示、生成、处理和显示图形的学科。它结合了数学、物理学、计算机科学和艺术等多个领域的知识，致力于解决如何在计算机上创建和操作视觉内容的问题，其最直观的用途包括如下四个方面。

  1. 图形表示：研究如何在计算机中表示2D和3D图形对象
  2. 图形生成：如何从模型数据生成可视图像
  3. 图形处理：对已有图形进行变换、编辑和优化
  4. 图形显示：如何将生成的图形高效地显示在输出设备上

图形学(CG)与其他学科的关系

  • 计算机视觉(CV)：图形学是"从模型到图像"，计算机视觉是"从图像到模型"
  • 图像处理：图形学绘制（渲染）图像，图像处理修改已有图像
  • 计算几何：提供图形学所需的几何算法
  • 人机交互：图形学为HCI提供可视化界面

为什么要学图形学？

因为图形学很酷！

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线性代数基础

向量的点乘（Dot Product）

两个向量的点乘结果是一个标量

a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta

几何意义：

  • 点乘 > 0：两向量方向基本相同（夹角 < 90°）
  • 点乘 = 0：两向量垂直（夹角 = 90°）
  • 点乘 < 0：两向量方向基本相反（夹角 > 90°）

向量的叉乘（Cross Product）

两个向量的叉乘结果是一个新向量

性质：

  1. 结果向量同时垂直于原始两个向量
  2. 方向由右手定则决定：
    • 右手四指从a向b握紧，拇指指向即为a×b方向
  3. 大小等于两向量构成的平行四边形面积

矩阵形式表示：

a × b = A* b
其中A*是a的反对称矩阵：

[0−a3a2a30−a1−a2a10]\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}

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判断向量左右关系：

  • a×b与z轴同向 → b在a左侧
  • a×b与z轴反向 → b在a右侧

判断点是否在三角形内（光栅化关键算法）：

  • 对三角形ABC和点P，检查：
    AB×AP > 0 且 BC×BP > 0 且 CA×CP > 0
  • 全部满足则P在三角形内

矩阵运算

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矩阵乘法：

  • 要求：(M×N)矩阵 × (N×P)矩阵 = (M×P)矩阵
  • 计算方法：结果矩阵的第(i,j)元素 = 第一个矩阵第i行与第二个矩阵第j列的点积

特殊矩阵：

  1. 单位矩阵：对角线为1，其余为0
  2. 逆矩阵：A⁻¹满足A⁻¹A = AA⁻¹ = I
  3. 转置矩阵：行列互换

矩阵与向量：

  1. 点乘的矩阵形式：a·b = aᵀb
  2. 叉乘的矩阵形式：a×b = A* b（A*为a的反对称矩阵）