计算机图形学是研究计算机中图形表示、生成、处理和显示的交叉学科，其核心内容包括图形表示、生成、处理与显示，并与计算机视觉、图像处理等学科紧密关联。学习图形学需要掌握线性代数基础，如向量的点乘、叉乘及矩阵运算。
基本概念
计算机图形学是什么？
计算机图形学(Computer Graphics)是研究如何在计算机中表示、生成、处理和显示图形的学科。它结合了数学、物理学、计算机科学和艺术等多个领域的知识，致力于解决如何在计算机上创建和操作视觉内容的问题，其最直观的用途包括如下四个方面。
- 图形表示：研究如何在计算机中表示2D和3D图形对象
- 图形生成：如何从模型数据生成可视图像
- 图形处理：对已有图形进行变换、编辑和优化
- 图形显示：如何将生成的图形高效地显示在输出设备上
图形学(CG)与其他学科的关系
- 计算机视觉(CV)：图形学是"从模型到图像"，计算机视觉是"从图像到模型"
- 图像处理：图形学绘制（渲染）图像，图像处理修改已有图像
- 计算几何：提供图形学所需的几何算法
- 人机交互：图形学为HCI提供可视化界面
为什么要学图形学？
因为图形学很酷！
线性代数基础
向量的点乘（Dot Product）
两个向量的点乘结果是一个标量
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta $$几何意义：
- 点乘 > 0：两向量方向基本相同（夹角 < 90°）
- 点乘 = 0：两向量垂直（夹角 = 90°）
- 点乘 < 0：两向量方向基本相反（夹角 > 90°）
向量的叉乘（Cross Product）
两个向量的叉乘结果是一个新向量
性质：
- 结果向量同时垂直于原始两个向量
- 方向由右手定则决定：
- 右手四指从a向b握紧，拇指指向即为a×b方向
- 大小等于两向量构成的平行四边形面积
矩阵形式表示：
a × b = A* b 其中A*是a的反对称矩阵：
$$ \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} $$
判断向量左右关系：
- a×b与z轴同向 → b在a左侧
- a×b与z轴反向 → b在a右侧
判断点是否在三角形内（光栅化关键算法）：
- 对三角形ABC和点P，检查： AB×AP > 0 且 BC×BP > 0 且 CA×CP > 0
- 全部满足则P在三角形内
矩阵运算
矩阵乘法：
- 要求：(M×N)矩阵 × (N×P)矩阵 = (M×P)矩阵
- 计算方法：结果矩阵的第(i,j)元素 = 第一个矩阵第i行与第二个矩阵第j列的点积
特殊矩阵：
- 单位矩阵：对角线为1，其余为0
- 逆矩阵：A⁻¹满足A⁻¹A = AA⁻¹ = I
- 转置矩阵：行列互换
矩阵与向量：
- 点乘的矩阵形式：a·b = aᵀb
- 叉乘的矩阵形式：a×b = A* b（A*为a的反对称矩阵）